Question

【题目】如图，四边形ABCD中，DC∥AB ，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=2时，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6.

【解析】试题分析：(1)根据已知条件易证△OBE≌△ODF，根据全等三角形的性质即可得结论；（2）根据已知条件易证∠G=∠A=45°，由等腰三角形的性质可得AE=GE，再证得DG=DO，即可得OF=FG= 2，再由（1）可知OE= OF=2，所以GE=OE+OF+FG=6，即AE= GE=6.

试题解析：

（1）证明：∵ DC∥AB， ∴∠OBE =∠ODF．

在△OBE与△ODF中，

∵

∴△OBE≌△ODF（AAS）．

∴BO=DO．

（2）∵EF⊥AB，DC∥AB，

∴∠GEA=∠GFD=90°．

∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°．

∴AE=GE，

∵BD⊥AD， ∴∠ADB=∠GDO=90°．

∴∠GOD=∠G=45°．

∴DG=DO，

∴OF=FG= 2，

由（1）可知，OE= OF=2，

∴GE=OE+OF+FG=6

∴AE= GE=6.