Question

【题目】如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；

（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由。

Answer 1

【答案】（1）OE=OF，理由详见解析；（2）当点O运动到AC的中点处，理由详见解析；（3）∠ACB=90°时．

【解析】试题分析：（1）利用角平分线的性质得出，∠1=∠2，进而得出，∠3=∠2，即可得出OE与OF的大小关系；

（2）首先证得四边形AECF是平行四边形，进而得出∠ECF=90°，再利用矩形的判定得出即可；

（3）由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，进而得出AC⊥MN，即可得出答案．

试题解析：（1）OE=OF，理由如下：

因为CE平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因为MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，FO=CO，所以OE=OF．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：

因为OE=OF，点O是AC的中点，所以四边形AECF是平行四边形，又因为CF平分∠BCA的外角，所以∠4=∠5，又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4==90°，即∠ECF=90°，所以平行四边形AECF是矩形．

（3）当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由如下：

由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，又因为∠ACB=90°，CE，CN分别是∠ACB与∠ACB的外角的平分线，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四边形AECF是正方形．