Question

【题目】如图①点A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF．
（1）证明：EF平分线段BC；
（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠ACE=∠DBF=90°，

∵AB=CD，

∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，

在Rt△ACE和Rt△DBF中，

，

∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），

∴CE=FB，

在△CEG和△BFG中，

，

∴△CEG≌△BFG（AAS），

∴CG=BG，即EF平分线段BC；

（2）（1）中结论成立，理由为：

证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠ACE=∠DBF=90°，

∵AB=CD，

∴AB﹣BC=CD﹣BC，即AC=DB，

在Rt△ACE和Rt△DBF中，

，

∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），

∴CE=FB，

在△CEG和△BFG中，

，

∴△CEG≌△BFG（AAS），

∴CG=BG，即EF平分线段BC．

【解析】（1）由AB=CD，利用等式的性质得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=CG，即可得证；（2）（1）中的结论成立，理由为：由AC=DB，利用等式的性质得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=CG，即可得证．
【考点精析】通过灵活运用平移的性质，掌握①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化；②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等即可以解答此题．