Question

【题目】（模型建立）

（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；

（模型应用）

（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；

（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）；（3）点D坐标得（，）或（4，7）或（，）．

【解析】

（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，角角边证明△CDA≌△BEC；

（2）证明△ABO≌∠BCD，求出点C的坐标为（-3，5），由点到直线上构建二元一次方程组求出k=5，b=10，待定系数法求出直线l2的函数表达式为y=-5x-10；

（3）构建△MCP≌△HPD，由其性质，点D在直线y=-2x+1求出m=或n=0或，将m的值代入，得点D坐标得（，）或（4，7）或（，）．

解：（1）如图1所示：

∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BEC=90°，
又∵∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△CDA和△BEC中，

，

∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，如图2所示：

∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CDB=∠BOA=90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD=180°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴AB=CB，
在△ABO和∠BCD中，

，

∴△ABO≌∠BCD（AAS），
∴AO=BD，BO=CD，
又∵直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、B两点的坐标分别为（-2，0），（0，3），
∴AO=2，BO=3，
∴BD=2，CD=3，
∴点C的坐标为（-3，5），
设l2的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
点A、C两点在直线l2上，依题意得：

，

∴，

∴直线l2的函数表达式为y=5x10；

（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，
①若点P为直角时，如图3甲所示：

设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD=90°，CP=PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°，
∴∠CPM+∠PDH=90°，
又∵∠CPM+∠DPM=90°，
∴∠PCM=∠PDH，
在△MCP和△HPD中，

，

∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM=PH，PM=PD，
∴点D的坐标为（7+m，-3+m），
又∵点D在直线y=-2x+1上，
∴-2（7+m）+1=-3+m，
解得：m=，

即点D的坐标为（，）；

②若点C为直角时，如图3乙所示：

设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，
CA=CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM=CH，MC=HD，
∴点D的坐标为（4+n，-7），
又∵点D在直线y=-2x+1上，
∴-2（4+n）+1=-7，
解得：n=0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，-7）；
③若点D为直角时，如图3丙所示：

设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，
CD=PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD=PQ，MC=DQ，
∴点D的坐标为（，），
又∵点D在直线y=-2x+1上，
∴-2×+1=，
解得：k=，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（，）；

综合上述，点D坐标得（，）或（4，7）或（，）．