Question

【题目】如图1，在中，，，，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作，交AB于点D，连接PQ，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

直接用含t的代数式分别表示：______，______；

是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）详见解析；（3）2

【解析】

由根据路程等于速度乘以时间可得,,,则,根据,,可得:,根据相似三角形的判定可得:∽,再根据相似三角形的性质可得:

,即,从而解得:,

(2)根据,当时,可判定四边形PDBQ为平行四边形,根据平行四边形的性质可得:,解得:,

(3)根据题意可得:,当时,点的坐标为,当时,点的坐标为,

设直线的解析式为:,则,解得:,因此直线的解析式为:,再根据题意得:点P的坐标为,点Q的坐标为,因此在运动过程中PQ的中点M的坐标为,当时,,因此点M在直线上,作轴于N,则,,由勾股定理得,,

因此线段PQ中点M所经过的路径长为.

由题意得,,,

则,

,,

,

∽,

,即,

解得:,

故答案为:,,

存在,

,

当时,四边形PDBQ为平行四边形,

,

解得:,

则当时,四边形PDBQ为平行四边形,

以点C为原点,以AC所在的直线为x轴,建立如图2所示的平面直角坐标系,

由题意得:,

当时,点的坐标为,

当时,点的坐标为,

设直线的解析式为:,

则,

解得:,

直线的解析式为：,

由题意得:点P的坐标为,点Q的坐标为,

在运动过程中PQ的中点M的坐标为,

当时,,

点M在直线上,

作轴于N,

则,,

由勾股定理得,,

线段PQ中点M所经过的路径长为.