Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E是上一点，连接DE，AE，CE，已知CE＝AC．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明；

（2）若AB＝AC＝4，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）（1）CE与⊙O相切，理由见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE=∠OEA，∠CAE=∠CEA，求得∠CEO=∠CAO，得到∠CEO=90°，于是得到结论；

（2）连接OC，EB，解直角三角形得到OA=2，BC=4，CE=AC=4，根据勾股定理得到OC2，根据射影定理得到AO2=OFOC，求得OF，得到BE=2OF，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论．

（1）CE与⊙O相切，理由：连接OE．

∵OA=OE，AC=EC，∴∠OAE=∠OEA，∠CAE=∠CEA，∴∠CEA+∠OEA=∠CAE+∠OAE，∴∠CEO=∠CAO．

∵∠BAC=90°，∴∠CEO=90°，∴CE是⊙O的切线；

（2）连接OC，EB．

∵AB=AC=4，∠BAC=90°，∴OA=2，BC=4，CE=AC=4，∴OC2．

∵AC=CE，OA=OE，∴AE⊥OC，AF=EF，∴AO2=OFOC，∴OF．

∵OF⊥AE，BE⊥AE，∴OF∥BE．

∵AO=OB，∴BE=2OF．

∵CE是⊙O的切线，∴∠CBE=∠DEC．

∵∠BCE=∠ECD，∴△CDE∽△CEB，∴，∴，∴DE．