Question

【题目】如图，已知直线l1∥l2，直线l和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，A是l1上的一点，B是l2上的一点．

（1）如果P点在C、D之间运动时，如图（1）问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有何关系，并说明理由．

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），在图（2），图（3）中画出图形并探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？并选择其中一种情况说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．理由见解析.

【解析】

（1）当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解：（1）如图1，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：过点P作PE∥l1，

∵l1∥l2

∴PE∥l2∥l1，

∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）如图2，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．

理由如下：∵PE∥l2∥l1，

∴∠EPA=∠PAC，

∵∠EPA=∠PBD+∠APB，

∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

如图3，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：∵PE∥l2∥l1，

∴∠EPB=∠PBD，

∵∠EPB=∠PAC+∠APB，

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．