Question

【题目】如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0） ，C（0，5）两点与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．

（3）若△PCM是以点P为顶角顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x+5．(2) ，点P坐标为（，）．(3)

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；

（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，-1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

试题解析：（1）∵对称轴为直线x=2，

∴设抛物线解析式为y=a（x-2）2+k．

将A（-1，0），C（0，5）代入得：

，解得，

∴y=-（x-2）2+9=-x2+4x+5．

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．

设P（x，-x2+4x+5），

如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=-x2+4x+5，

∴MN=ON-OM=-x2+4x+4．

S四边形MEFP=S梯形OFPN-S△PMN-S△OME

=（PN+OF）ON-PNMN-OMOE

=（x+2）（-x2+4x+5）-x（-x2+4x+4）-×1×1

=-x2+x+

=-（x-）2+

∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，

把x=时，y=-（-2）2+9=．

此时点P坐标为（，）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为3．

令y=-x2+4x+5=3，解得x=2±．

∵点P在第一象限，

∴P（2+，3）．

四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．

如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；

作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，-1）；

连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，-1）代入得：

，解得：m=，n=-，

∴y=x-．

当y=0时，解得x=．

∴F（，0）．

∵a+1=，∴a=．

∴a=时，四边形PMEF周长最小．