Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的角平分线交DC于点E，点P、Q分别是边AD和AE上的动点（两动点不重合）．

（1）PQ+DQ的最小值是　 　．

（2）说出PQ+DQ取得最小值时，点P、Q的位置，并在图中画出；

（3）请对（2）中你所给的结论进行证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）画图见解析；（3）证明见解析.

【解析】解：（１）；…………………………………………………………２分

（２）如图４，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足为Ｆ，………………………３分

ＤＦ与ＡＥ的交点即为点Ｑ；………………………………………………４分

过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ；……………………………………５分

（３）由（２）知，ＤＦ为等腰Ｒt△ＡＤＣ底边上的高，

∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４×＝．…………………………６分

∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ为ＡＥ上的点，

且ＱＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于点Ｐ，

∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分线性质定理），……………………………………７分

∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝．

下面证明此时的ＰＱ＋ＤＱ为最小值：

在ＡＥ上取异于Ｑ的另一点Ｑ１（图5）．…………………………………９分

①过Ｑ１点作Ｑ１Ｆ１⊥ＡＣ于点Ｆ１，………………………………………１０分

过Ｑ１点作Ｑ１Ｐ１⊥ＡＤ于点Ｐ１，…………………………………………１１分

则Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＝Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１，

由“一点到一条直线的距离”，可知，垂线段最短，

∴得Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＦＱ＋ＤＱ，

即Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分

②若Ｐ２是ＡＤ上异于Ｐ１的任一点，………………………………………１３分

可知斜线段Ｐ２Ｑ１＞垂线段Ｐ１Ｑ１，………………………………………１４分

∴Ｐ２Ｑ１＋ＤＱ１＞Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．

从而可得此处ＰＱ＋ＤＱ的值最小．

此题考核正方形的性质，利用垂线段最短求证最小值