Question

【题目】如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，

且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．

Answer 1

【答案】（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）（2）

【解析】试题分析：（1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；
（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．

试题解析：（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）

以下证明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B

∴△AMF∽△BGM．

（2）连接FG，

当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M为AB的中点，

∴AM＝BM＝

又∵AMF∽△BGM，

∴

∴

又，

∴，

∴