Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是BD弧上的一点，OE⊥BD于点G，连接AE交BC于点F，AC是⊙O的切线．
（1）求证：∠ACB=2∠EAB；
（2）若cos∠ACB= ，AC=10，求BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠CAB=90°，

∴∠C+∠CAD=∠CAD+∠DAB=90°，

∴∠C=∠DAB，

∵OE⊥BD，

∴2 = ，

∴∠BAE= BDA，

∴∠ACB=2∠EAB

（2）解：∵cos∠ACB= ，AC=10，

∴BC=25，

∴AB= =5 ，

∵∠C=∠BAD，∠B=∠B，

∴△ABC∽△DBA，

∴ ，

∴BD= =21，

∵OE⊥BD，

∴BG=DG= ，

∵AD= =2 ，

∵AO=BO，BG=DG，

∴OG= AD= ，

∴GE= ，

∵AD∥GE，

∴ = ，

∴FG= DG= ，

∴BF=BG+FG= + =15．

【解析】（1）连接AD，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，由AC是⊙O的切线，得到∠CAB=90°，根据余角的性质得到∠C=∠DAB，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据三角函数的定义得到BC=25，根据勾股定理得到AB= =5 ，根据相似三角形的性质得到BD= =21，根据垂径定理得到BG=DG= ，根据平行线分线段成比例定理得到 = ，于是得到结论．
【考点精析】本题主要考查了垂径定理和切线的性质定理的相关知识点，需要掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．