Question

【题目】已知：在Rt△ABC中，AB=BC；在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，

求证：BM=DM且BM⊥DM；

（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

图① 图②

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立

【解析】分析：(1)、根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BM=DM，然后根据四点共圆可以得出∠BMD=2∠ACB=90°，从而得出答案；(2)、连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H，根据题意得出四边形CDEF为平行四边形，然后根据题意得出△ABD和△CBF全等，根据角度之间的关系得出∠DBF=∠ABC =90°．

详解：（1）在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴．

在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴．

∴BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．

∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．

（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立．

证明：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．

∵ DM=MF，EM=MC， ∴ 四边形CDEF为平行四边形，∴ DE∥CF ，ED =CF，

∵ ED= AD，∴ AD=CF， ∵ DE∥CF，∴ ∠AHE=∠ACF．

∵,，

∴ ∠BAD=∠BCF， 又∵AB= BC， ∴ △ABD≌△CBF，∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF，

∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，∴∠DBF=∠ABC =90°．

在Rt△中，由, ，得BM=DM且BM⊥DM．