Question

【题目】如图，在中，，于点，，.点从点出发，在线段上以每秒的速度向点匀速运动；与此同时，垂直于的直线从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交、、于点、、，当点到达点时，点与直线同时停止运动，设运动时间为秒（）.

（1）当时，连接、，求证：四边形为菱形；

（2）当时，求的面积；

（3）是否存在某一时刻，使为以点或为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出此时刻的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在以点为直角顶点的直角三角形.此时，.

【解析】

（1）根据菱形的判定定理即可求解；

（2）由（1）知，故，故 ，可求得，

， 再根据三角形的面积公式即可求解；

（3）根据题意分①若点为直角顶点， ②若点为直角顶点， 根据相似三角形的性质即可求解.

（1）证明：如图1，当时，，

则为的中点，又∵，

∴为的垂直平分线，∴，.

∵，∴.

∵，∴，，

∴，∴，

∴，即四边形为菱形.

（2）如图2，由（1）知，

∴，

∴，即，解得：，

，

；

（3）①若点为直角顶点，如图3①，

此时，，.

∵，∴，

即：，此比例式不成立，故不存在以点为直角顶点的直角三角形；

②若点为直角顶点，如图3②，

此时，，，.

∵，∴，即：，

解得.故存在以点为直角顶点的直角三角形.此时，.