Question

【题目】在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC．

（1）如图1，以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），连接DE′．求证：DE′=DE；

（2）如图2，若∠ABC=90°，AD=4，EC=2，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）先根据旋转的性质得BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，则∠E′BE=∠ABC，再利用∠DBE=∠ABC易得∠DBE′=∠DBE，根据“SAS”判断△BDE′≌△BDE，所以DE′=DE；

（2）以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），如图2，利用等腰直角三角形的性质得∠BCE=∠BAD=45°，利用旋转的性质得∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，则∠DAE′=90°，在Rt△DAE′中利用勾股定理可计算出DE′=2，然后就根据（1）的结论即可得到DE=DE′=2．

（1）证明：∵以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），

∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，

∴∠E′BE=∠ABC，

∵∠DBE=∠ABC，

∴∠DBE=∠E′BE，即∠DBE′=∠DBE，

在△BDE′和△BDE中，

，

∴△BDE′≌△BDE（SAS），

∴DE′=DE；

（2）解：以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），如图2，

∵∠ABC=90°，BA=BC，

∴∠BCE=∠BAD=45°，

∵△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA，

∴∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，

∴∠DAE′=∠BAD+∠BAE′=90°，

在Rt△DAE′中，∵DE′2=AD2+AE′2=42+22=20，

∴DE′=2，

由（1）的结论得DE=DE′=2．