Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是 的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△BAC，

∴∠BAC=∠ADC=90°，

∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线

（2）解：∵BD=5，CD=4，

∴BC=9，

∵△ADC∽△BAC（已证），

∴ = ，即AC2=BC×CD=36，

解得：AC=6，

在Rt△ACD中，AD= =2 ，

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，

∴CA=CF=6，

∴DF=CA﹣CD=2，

在Rt△AFD中，AF= =2

【解析】（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．