Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点记为，自变量和对应的函数值相等．若点在直线：上，点在抛物线上．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设对称轴右侧轴上方的图象上任一点为，在轴上有一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出相应的点横坐标的取值范围；

（3）直线与抛物线另一点记为，为线段上一动点（点不与重合）．设点坐标为，过作轴于点，将以点，，，为顶点的四边形的面积表示为的函数，标出自变量的取值范围，并求出可能取得的最大值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=4x2﹣16x+8；（2）当x=时，∠PCO=∠ACO，当2+＜x＜时，∠PCO＜∠ACO，当＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO；（3）祥见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到结论；

（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA= ，根据相似三角形的性质得到x= ，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+ ，0），于是得到结论；

（3）解方程组得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①当﹣1≤t＜0时，②当0＜t＜ 时，③当＜t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论．

试题解析：（1）∵自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等，∴抛物线的对称轴为x=2．

∵点M在直线l：y=﹣12x+16上，∴yM=﹣8．

设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．

∴抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8．

（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），

如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，

∴OD=OA= ，∵P点的横坐标是x，∴P点的纵坐标为4x2﹣16x+8，

∵PH∥OD，∴△CHP∽△COD，∴ ，∴x=，

过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，

设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+ ，0），∴y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，

∴当x=时，∠PCO=∠ACO，

当2+＜x＜时，∠PCO＜∠ACO，

当＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO；

（3）解方程组 ，解得： ，∴D（﹣1，28），

∵Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），

①当﹣1≤t＜0时，S=（﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，

∵﹣1≤t＜0，∴当t=-1时，S最大=18；

②当0＜t＜时，S=t8+t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，

∵0＜t＜，∴当t=1时，S最大=6；

③当＜t＜2时，S=t8+（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣，

∵＜t＜2，∴此时S=16为最大值．