Question

【题目】.A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的和谐点.例如：图1中，点A表示的数为-1，点B表示的数为2。表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1.那么点C是【A，B】的和谐点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的和谐点，但点D是【B，A】的和谐点

（1）若数轴上M，N两点所表示的数分别为且满足，请求

出【M，N】的和谐点表示的数；

（2）如图2，A，B在数轴上表乐的数分别为-40和20，现有一点P从点B出发向左运动

①若点P到达点A停止，则当P点运动多少个单位时P，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点？

②若点P到达点A后继续向左运动，是否存在使得P，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点的情况？若存在，请直接写出此时PB的距离，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）由题意得出m=－2，n=4，设【M、N】的和谐点表示的数为x，根据和谐点的定义可列方程x－（－2）=2（4－x），解出x=2；（2）①分四种情况讨论，1.P是【A、B】的和谐点；2.P是【B、A】是和谐点； 3.B是【A、P】的和谐点；4.A为【B、P】的和谐点，分别列出方程解出y，计算出P点运动的单位即可；②分四种情况讨论：1.当点P是【B、A】的和谐点，2.当点A是【P、B】的和谐点，3.当点A是【B、P】的和谐点，4.当点B是【P、A】的和谐点，分别计算出PB即可.

试题解析：

解：（1）由题意得：m=－2，n=4，

设【M、N】的和谐点表示的数为x，

∴x－（－2）=2（4－x），x=2.

∴【M、N】的和谐点表示的数为2；

（2）①设点P表示的数为y，分四种情况：

1.P是【A、B】的和谐点，

由题意，得y－（－40）=2（20－y），

解得y=0，

20－0=20；

2.P是【B、A】是和谐点，

由题意，得20－y=2[y－（－40）]，

解得y=－20，

20－（－20）=40；

3.B是【A、P】的和谐点，

由题意，得20－（－40）=2（20－y），

解得y=－10，

20－（－10）=30；

4.A为【B、P】 的和谐点，

由题意，得20－（－40）=2[y－（－40）]，

解得y=－10，

20－（－10）=30.

综上可知，当P点运动20或40或30个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的和谐点.

（3）当点P是【B、A】的和谐点，PB=120；

当点A是【P、B】的和谐点，PB=180；

当点A是【B、P】的和谐点，PB=90；

当点B是【P、A】的和谐点，PB=120.

综上，PB距离为80或120或180时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的和谐点.