Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．

（1）四边形ABEF是 ；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）

（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为 ，∠ABC= °．（直接填写结果）

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2），120．

【解析】试题分析：（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．

（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．

试题解析：（1）在△AEB和△AEF中，∵AB=AF，∠EAB=∠EAF，AE=AE，

∴△AEB≌△AEF，

∴∠EAB=∠EAF，

∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，

∴BE=AB=AF．

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AB=AF，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）∵四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，

∵AB=10，

∴AB=2BO，

∵∠AOB=90°

∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，

∴AO=BO=，∠ABC=2∠ABO=120°．