Question

【题目】如图，已知点A是双曲线 在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线 上运动，则k的值是

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵双曲线 的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
连接OC，如图所示，
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°，
∴tan∠OAC= = ，∴OC= OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，相似比 ，∴面积比 ，
∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），
∵点A在双曲线 上，∴S△AEO= ab= ，∴S△OFC= FCOF= ，
∴设点C坐标为（x，y），
∵点C在双曲线 上，
∴k=xy，
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FCOF=x（﹣y）=﹣xy=﹣ ，所以答案是：﹣3 ．
【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．