Question

【题目】已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN．

（1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；

（2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系 ；

（3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、AM+AN=2AC；(3)、32

【解析】

试题分析：(1)、根据PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，利用HL判定Rt△PBM≌Rt△PCN，即可得出BM=CN；

(2)、先已知条件得出AP平分∠CPB，再根据PB⊥AB，PC⊥AC，得到AB=AC，最后根据BM=CN，得出AM+AN=（AB﹣MB）+（CN+AC）=AB+AC=2AC；(3)、由AC：PC=2：1，PC=4，即可求得AC的长，又由S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM=S△APN+S△APB+S△PCN=S△APC+S△APB，即可求得四边形ANPM的面积．

试题解析：(1)、如图1，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，

∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°， ∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，

， ∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL）， ∴BM=CN；

(2)、AM+AN=2AC． ∵∠APB=90°﹣∠PAB，∠APC=90°﹣∠PAC，点P为∠EAF平分线上一点，

∴∠APC=∠APB，即AP平分∠CPB， ∵PB⊥AB，PC⊥AC， ∴AB=AC， 又∵BM=CN，

∴AM+AN=（AB﹣MB）+（CN+AC）=AB+AC=2AC；

(3)、如图2，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF， ∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，

∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°， ， ∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），

∴BM=CN， ∴S△PBM=S△PCN ∵AC：PC=2：1，PC=4， ∴AC=8，

∴由（2）可得，AB=AC=8，PB=PC=4， ∴S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM =S△APN+S△APB+S△PCN

=S△APC+S△APB =ACPC+ABPB=×8×4+×8×4=32．