Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，点A（6，﹣6），且以y轴为对称轴．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点B（0，﹣）作x轴的平行线l，点C在直线l上，点D在y轴左侧的抛物线上，连接DB，以点D为圆心，以DB为半径画圆，⊙D与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧），连接CN，当MN=CN时，求锐角∠MNC的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，平移直线CN经过点A，与抛物线相交于另一点E，过点A作x轴的平行线m，过点（﹣3，0）作y轴的平行线n，直线m与直线n相交于点S，点R在直线n上，点P在EA的延长线上，连接SP，以SP为边向上作等边△SPQ，连接RQ，PR，若∠QRS=60°，线段PR的中点K恰好落在抛物线上，求Q点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2；

（2）∠CNF=30°．

（3）点Q的坐标为（，）．

【解析】

试题分析：（1）设过坐标原点O，点A（6，﹣6），且以y轴为对称轴的抛物线为y=ax2，点A代入求出a即可．

（2）如图2中，作CF⊥MN于F，设⊙D与x轴的交点为（x，0），D（m，﹣ m2），根据半径相等列出方程，求出M、N坐标，推出MN=2，在Rt△CFN中，由CN=2CF推出∠FNC=30°即可解决问题．

（3）如图3中，由题意可知平移直线CN经过点A的直线的解析式为y=x﹣8，记直线y=x﹣8与直线x=﹣3的交点为G，则G（﹣3，﹣9），由△SQR≌△PSH，推出SR=PG，RQ=SG，推出RQ=SG=3，作DQ⊥n于D，记n与x轴的交点为M，则RM=b，由S（﹣3，﹣6），推出MS=6，可得P（6+b， b﹣6），再求出PR中点k坐标，证明k在直线y=﹣上运动，由消去y得到x2+6x﹣27=0，x=3或﹣9（舍弃），x=3，代入x=+b得到b=2，由此即可解决问题．

试题解析：（1）设过坐标原点O，点A（6，﹣6），且以y轴为对称轴的抛物线为y=ax2，

则﹣6=36a，

∴a=﹣，

∴y=﹣x2．

（2）如图2中，作CF⊥MN于F，设⊙D与x轴的交点为（x，0），D（m，﹣ m2）．

则有（x﹣m）2+（m2）2=m2+（﹣m2+）2，

整理得x2﹣2mx+m2﹣3=0，

∴x=m+或m﹣，

∴N（m+，0），M（m﹣，0）

∴MN=2，

在Rt△CFN中，∵∠CFN=90°，CN=MN=2，CF=，

∴CN=2CF，

∴∠CNF=30°．

（3）如图3中，

由题意可知平移直线CN经过点A的直线的解析式为y=x﹣8，

记直线y=x﹣8与直线x=﹣3的交点为G，则G（﹣3，﹣9），

∵m∥x轴，且过点A（6，﹣6），

∴S（﹣3，﹣6），

∴SG=3，AS=9，

∴tan∠2==，

∴∠2=60°，

∴∠1=30°，

∵∠QRS=60°

∴∠QRS=∠2，

∵∠RSQ+∠QSP=∠2+∠SPG，∠QSP=∠2=60°，

∴∠3=∠4，

在△SQR和△PSG中，

，

∴△SQR≌△PSH

∴SR=PG，RQ=SG，

∴RQ=SG=3，作DQ⊥n于D，

∴QRD=60°，

∴DQ=DR=RQ=，

∴RD=QR=，

∵n是过（﹣3，0）与y轴平行的直线，设R（﹣3，b），记n与x轴的交点为M，则RM=b，

∵S（﹣3，﹣6），

∴MS=6，

∴SR=RM+MS=b+6=PG，作PH⊥n于H，

∵∠2=60°，

∴GH=PG=（b+6），

∴MH=MG﹣HG=9﹣（b+6）=6﹣b，

∴P（6+b， b﹣6），

∵K是PR中点，

∴K（+b， b﹣3），

为了方便，记K（x，y），即x=+b，y=b﹣3，消去b得y=x﹣，

∴中点K在直线y=﹣上运动，

由消去y得到x2+6x﹣27=0，

∴x=3或﹣9（舍弃），

∴x=3，代入x=+b得到b=2，

∴RM=2，DM=RM﹣RD=2﹣=，

∵﹣3=，

∴点Q的坐标为（， ）．