【题目】如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为lcm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q．F，当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）求菱形ABCD的面积；

（2）当t=1时，求QF长；

（3）是否存在某一时刻t，使四边形APFD是平行四边形？若存在，求出t值，若不存在，请说明理由；

（4）设△DEF的面积为s（cm2），试用含t的代数式表示S，并求t为何值时，△DEF的面积与△BPC的面积相等．

参考答案：

【答案】（1）96（cm2）；（2）；（3）当t=s时，四边形APFD是平行四边形．（4）S=t2，当t=时，△DEF的面积与△BPC的面积相等

【解析】

菱形面积=×AC×BD；

由EF∥AC，可得，即可求QF的长；

（3）当AP=DF时，四边形APFD为平行四边形，用t表示出AP=10-t，DF=

t，列等式计算；

（4）用t表示出△DEF和△BPC的面积，令其相等，即可求.

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC=12cm，BD=16cm，

∴菱形ABCD的面积为×12×16=96（cm2）．

（2）∵AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=6cm，OB=OD=8cm，

在中，AB=（cm），

当t=1时，DQ=1，

∵EF⊥BD，AC⊥BD，

∴EF∥AC，

∴，

∴，

∴QF=（cm）．

（3）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8．

在中，AB=．

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴，

即，

∴DF=t．

∵四边形APFD是平行四边形，

∴AP=DF．

即10﹣t=t，

解这个方程，得t=．

∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．

（4）S=S△DEF=．

如图作CG⊥AB于点G．

∵S菱形ABCD=ABCG=ACBD，

即10CG=×12×16，

∴CG=，

∴S△BPC=t×=t，

当△DEF的面积与△BPC的面积相等时，

，

解得t=或t=0（舍弃），

∴S=，当t=时，△DEF的面积与△BPC的面积相等

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