Question

【题目】如图1，点B，C分别是∠MAN的边AM、AN上的点，满足AB＝BC，点P为射线的AB上的动点，点D为点B关于直线AC的对称点，连接PD交AC于E点，交BC于点F。

(1)在图1中补全图形；

(2)求证：∠ABE＝∠EFC；

(3)当点P运动到满足PD⊥BE的位置时，在射线AC上取点Q，使得AE＝EQ，此时是否是一个定值，若是请直接写出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）是定值，

【解析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）连接BE，根据垂直平分线的性质可等量代换即可得出答案；

（3）是定值，根据已知条件可判断是等腰直角三角形，设设，求解即可．

解：（1）补全图形，如下图：

（2）连接BE，

∵B、D关于AC对称，且AB=BC

∴BD垂直平分AC

∴

∴

即∠ABE＝∠EFC；

（3），理由如下：

如下图，

根据题意可知，

∴

∴是等腰直角三角形

设

则，

∴

根据勾股定理可得：

∴．