Question

【题目】 如图，在菱形中，点在对角线上，且，是的外接圆.

（1）求证：是的切线；

（2）若求的半径.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；

（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，

∵PA=PD，

∴弧AP=弧DP，

∴OP⊥AD，AE=DE，

∴∠1+∠OPA=90°，

∵OP=OA，

∴∠OAP=∠OPA，

∴∠1+∠OAP=90°，

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠1=∠2，

∴∠2+∠OAP=90°，

∴OA⊥AB，

∴直线AB与⊙O相切；

（2）连结BD，交AC于点F，如图，

∵四边形ABCD为菱形，

∴DB与AC互相垂直平分，

∵AC=8，tan∠BAC=，

∴AF=4，tan∠DAC==，

∴DF=2，

∴AD==2，

∴AE=，

在Rt△PAE中，tan∠1==，

∴PE=，

设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，

∴R2=（R﹣）2+（）2，

∴R=，

即⊙O的半径为．