Question

【题目】动手操作：
如图,已知AB∥CD,点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.
问题解决：

(1)若∠ACD=78°，求∠MAB的度数；
(2)若CN⊥AM,垂足为点N,求证：△CAN≌△CMN.
实验探究：
(3)直接写出当∠CAB的度数为多少时?△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形.

Answer 1

【答案】(1) ∠MAB =51°；(2)详见解析；(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形；当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形.

【解析】

（1）利用平行线的性质求出∠CAB，再根据角平分线的定义即可解决问题；
（2）根据AAS即可判断；
（3）根据等边三角形、等腰直角三角形的定义即可判定；

解：(1)∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=78°，
∴∠CAB=102°.
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=∠CAB=51°；
(2)证明：由作法知，AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB.
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA,
∴∠CAM=∠CMA，
∵CN⊥AM，
∴∠CNA=∠CNM=90°.
又∵CN=CN，
∴△CAN≌△CMN.
(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形；当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形.