Question

【题目】如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得∠CDE=15°，连接BE．延长BE到F，连接CF，使得CF=BC．

（1）求证：DE=BE；

（2）求证：EF=CE+DE．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出结论；

（2）在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出结论．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，

∠BAC=∠DAC=45°．

∵在△ABE和△ADE中， ，

∴△ABE≌△ADE（SAS），

∴BE=DE．

（2）在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，

∵△ABE≌△ADE，

∴∠ABE=∠ADE．

∴∠CBE=∠CDE，

∵BC=CF，∴∠CBE=∠F，

∵∠CDE=15°，∴∠CBE=15°，

∴∠CEG=60°．

∵CE=GE，∴△CEG是等边三角形．

∴∠CGE=60°，CE=GC，

∴∠GCF=45°，

∴∠ECD=GCF．

∵在△DEC和△FGC中， ，

∴△DEC≌△FGC（SAS），

∴DE=GF．

∵EF=EG+GF，

∴EF=CE+ED．