Question

【题目】数学问题： 如图，在数轴上点A表示的数为﹣20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位长度的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动．

（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为 ， ， ．
（2）当QN=10个单位长度时，求此时点P在数轴上所表示的数．
（3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面实际问题： 码头C位于A、B两码头之间，且知AC=20海里，AB=60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中航速为5海里/小时，乙船在静水中航速为4海里/小时，丙船在静水中航速为8海里/小时，水流速度为2海里/小时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．
在整个运动过程中，是否存某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）﹣20+5t；4t；40﹣8t
（2）解：Q、N相遇的时间为 秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒．

N到O前，P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40﹣8t．

①Q、N相遇前：40﹣8t﹣4t=10，解得t=2.5，

所以P所表示的数为﹣20+5×2.5=﹣7.5；

②Q、N相遇后，N到O前，4t﹣（40﹣8t）=10，解得t= ，

所以P所表示的数为﹣20+5× = ；

③Q、N相遇后，N到O后：

P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为8（t﹣5），

4t﹣8（t﹣5）=10，解得t=7.5，

所以P所表示的数为﹣20+5×7.5=17.5

（3）解：建立如图所示的数轴A所表示的数为﹣20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．

甲到C的时间为 秒，甲到B的时间为 秒，乙到B的时间为 秒，

丙到C的时间为 秒，丙到B的时间为 秒，甲遇丙的时间为 秒，乙遇丙的时间为 秒，甲追乙的时间为20（舍），丙追甲的时间为（舍）．丙到C前，甲所表示的数为﹣20+7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为40﹣6t

① 乙丙相遇前：6t﹣（﹣20+7t）=40﹣6t﹣6t，解得t= ，

所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7× ）= （海里）；

②甲丙相遇前：40﹣6t﹣（﹣20+7t）=6t﹣（40﹣6t），解得t=4，

所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7×4）=32（海里）；

③甲丙相遇后，丙到C前：6t﹣（﹣20+7t）=﹣20+7t﹣（40﹣6t），解得t= ，

所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7× ）=20（海里）；

④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的数为﹣20+7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为10（t﹣ ）．

6t﹣（﹣20+7t）=﹣20+7t﹣10（t﹣ ），解得t= ＞ （舍）．

综上所述，在整个运动过程中，分别在 小时、4小时、 小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为 海里，32海里，20海里．

【解析】解：（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为﹣20+5t，4t，40﹣8t．所以答案是﹣20+5t，4t，40﹣8t；
【考点精析】利用数轴和两点间的距离对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；同轴两点求距离，大减小数就为之．与轴等距两个点，间距求法亦如此．平面任意两个点，横纵标差先求值．差方相加开平方，距离公式要牢记．