Question

【题目】如图，⊙O是以AB为直径的圆，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点F，连结CA，CB．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若⊙O的半径为5，且tan∠DAC=,求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用切线的性质得到OC⊥EF，而AE⊥EF，则可判定AE∥OC，利用平行线的性质得到∠EAC=∠OCA，加上∠OCA=∠OAC，于是得到∠OAC=∠OCA；

（2）利用∠OAC=∠OCA得到tan∠OAC=tan∠DAC= ，设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理得到AB=x，则x=10，然后解方程求出x即可得到BC的长．

解：（1）连接 OC

∵EF 与⊙O 相切于点 C． ∴ OC⊥EF，

∵AE⊥EF

∴AE∥OC，

∴∠DAC=∠ACO

∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO=∠DAC

∴AC 平分∠DAB；

（2）∵∠CAB=∠DAC；

∴tan∠CAB= tan∠DAC=

∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB=90°

tan∠CAB =

∵⊙O 的半径为 5，∴ AB=10

∴ BC=