Question

【题目】如图，正方形OABC的面积为9，点O为左边原点，点A在轴上，点C在轴上，点B在函数的图象上，点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分（图中阴影部分）的面积为S.

（1）求B点坐标和值；

（2）当时，求P点坐标.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）当时，P点坐标为或.

【解析】试题分析：（1）由正方形的面积，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出OA及AB的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值；

（2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形PMCF，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到mn的值，根据P及B的坐标，表示出PM与CM，利用矩形的面积公式表示出矩形PMCF的面积，将mn的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形ANPE，由P及B的坐标表示出AE及PE，利用矩形的面积公式表示出矩形ANPE的面积，将mn的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标．

试题解析：解：（1）∵正方形OABC的面积为9，∴OA=OC=AB=BC=3，∴B（3，3）．又∵点B（3，3）在函数（k＞0，x＞0）的图象上，∴将B的坐标代入反比例函数解析式得： =3，即k=9；

（2）分两种情况：

①当点P在点B的左侧时，矩形OEPF和正方形OABC不重合部分为矩形PFCM．∵P（m，n）在函数上，∴mn=9．∵PE=n，ME=BA=3，∴PM=PE﹣ME=n﹣3，又CM=OE=m，∴S=CMPM=m（n﹣3）=mn﹣3m=9﹣3m=，解得：m=1.5，可得n=6，∴点P的坐标为（1.5，6）；

②当点P在点B的右侧时，矩形OEPF和正方形OABC不重合部分为矩形ANPE．∵P（m，n）在函数上，∴mn=9．∵OE=PF=m，NF=AO=3，AE=OE﹣OA=m﹣3，又PE=n，∴S=AEPE=n（m﹣3）=mn﹣3n=9﹣3n=，解得n=1.5，可得m=6，∴点P的坐标为（6，1.5）．

综上所述：P的坐标为（1.5，6）或（6，1.5）．