Question

12．已知反比例函数y=$\frac{k-1}{x}$（k为常数，k≠1）．
（1）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（2）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x₁、x₂）、B（x₂、y₂），当y₁＞y₂时，试比较x₁与x₂的大小；
（4）若在其图象上任取一点，向x轴和y轴作垂线，若所得矩形面积为6，求k的值．

Answer 1

分析 （1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数y=$\frac{k-1}{x}$的图象上，所以2=$\frac{k-1}{2}$，解得k=5；
（2）由于在反比例函数y=$\frac{k-1}{x}$图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k-1＞0，求出k的取值范围即可；
（3）反比例函数y=$\frac{k-1}{x}$图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x₁，y₁）与点B（x₂，y₂）在该函数的第二象限的图象上，且y₁＞y₂，故可知x₁＞x₂；
（4）利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可．

解答 解：（1）由题意，设点P的坐标为（m，2）
∵点P在正比例函数y=x的图象上，
∴2=m，即m=2．
∴点P的坐标为（2，2）．
∵点P在反比例函数y=$\frac{k-1}{x}$的图象上，
∴2=$\frac{k-1}{2}$，解得k=5．

（2）∵在反比例函数y=$\frac{k-1}{x}$图象的每一支上，y随x的增大而减小，
∴k-1＞0，解得k＞1．

（3）∵反比例函数y=$\frac{k-1}{x}$图象的一支位于第二象限，
∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．
∵点A（x₁，y₁）与点B（x₂，y₂）在该函数的第二象限的图象上，且y₁＞y₂，
∴x₁＞x₂．

（4）∵在其图象上任取一点，向两坐标轴作垂线，得到的矩形为6，
∴|k|=6，
解得：k=±6．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．