Question

【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=∠ABC,点P在AB上,如果AD⊥CP,BE⊥CP的延长线,垂足分别为D,E,且BE=CD.

（1）试探求这个图形中还有哪些相等的线段,并给出证明;
（2）试确定△ABC的形状.

Answer 1

【答案】
（1）解:图中相等的线段还有AC=BC,CE=AD.
证明:∵∠BAC=∠ABC,
∴AC=BC.
∵AD⊥CP,BE⊥CP,
∴∠ADC=∠BEC=90°.
又∵BE=CD,
∴Rt△BCE≌Rt△CAD(HL).
∴CE=AD 。
（2）解：△ABC为等腰直角三角形，理由如下 ：
∵△BCE≌△CAD,
∴∠EBC=∠ACD.
∵∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,即∠ACB=90°.
又AC=BC ，
∴△ABC为等腰直角三角形 。
【解析】 （1）:图中相等的线段还有AC=BC,CE=AD. 根据等角对等边得出AC=BC，根据垂直的定义得出∠ADC=∠BEC=90°，然后利用HL判断出Rt△BCE≌Rt△CAD ，根据全等三角形对应边相等得出CE=AD ；
（2）△ABC为等腰直角三角形，理由如下 ：根据全等三角形对应角相等得出∠EBC=∠ACD ，根据直角三角形两锐角互余得出∠EBC+∠BCE=90°,根据等量代换得出∠ACD+∠BCE=90°,即∠ACB=90°，又AC=BC ，从而得出结论△ABC为等腰直角三角形 。