Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤ ,其中正确结论有（ ）个

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】C

【解析】∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，

∴AB=BC=CD=AD，AE=AF=EF，∠B=∠D=∠BCD=90°，∠EAF=60°，

∴△ABE≌△ADF，∠BAE+∠DAF=90°-60°=30°，

∴∠BAE=∠DAF=15°，BE=DF，（即①②正确）；

∴BC-BE=DC-DF，即CE=CF，

又∵AE=AF，

∴点A、C都在线段EF的垂直平分线上，

∴AC垂直平分EF.（即③正确）；

如下图，在AB上取点P连接PE，使PE=PA，则由∠BAE=15°可知∠BPE=30°，

设BE=DF=1，则PE=PA=2，在Rt△PEB中由勾股定理可得：PB=，

∴AB=BC=DC=，

∴CE=CF=BC-BE=，

∴EF=EC=，

∵BE+DF=2，

∴BE+DFEF.（即④错误）；

∵S△CEF=CE2=，2S△ABE=AB·BE=，

∴S△CEF=2S△ABE（即⑤正确）；

综上所述，上述5个结论中，正确的有4个.

故选C.