Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．

（1）求证：△ABP∽△QEA；
（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；
（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD为正方形；

∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，

∵QE⊥AP；

∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°

∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ；

∴△ABP∽△QEA（AA）

（2）

解：∵△ABP≌△QEA；

∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；

在RT△ABP与RT△QEA中根据勾股定理得AP2=32+t2，AQ2=（2t）2

即32+t2=（2t）2

解得t1= ，t2=﹣ （不符合题意，舍去）

答：当t取 时△ABP与△QEA全等

（3）

解：由（1）知△ABP∽△QEA；

∴ =（ ）2

∴ =（ ）2

整理得：y= ．

【解析】本题主要考查的是相似三角形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理是解题的关键．（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可；（2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可；（3）根据相似三角形的性质得出函数解析式即可．
【考点精析】利用勾股定理的概念和正方形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．