Question

【题目】如图1，点A、D是抛物线上两动点，点B、C在x轴上，且四边形ABCD是矩形，点E是抛物线与y轴的交点，连接BE交AD于点F，AD与y轴的交点为点G．设点A的横坐标为a(0<a<1).

(1) 若矩形ABCD的周长为3.5，求a的值；

(2) 求证：不论点A如何运动，∠EAD＝∠ABE；

(3) 若△ABE是等腰三角形，

①求点A的坐标；

②如图2，若将直线BA绕点B按逆时针方向旋转至直线l，设点A、C到直线l的距离分别为、，求的最大值.

图1 图2

Answer 1

【答案】(1)a=0.5；(2) 见解析； (3)( ， )

【解析】试题分析：（1）由题意y轴是抛物线的对称轴，也是矩形ABCD的对称轴，根据矩形的周长列出方程即可解决问题；
（2）如图1中，首先构建二次函数证明再证明四点共圆，即可解决问题；
（3）①观察图形可知当是等腰三角形时，只有在中，根据 可得求出即可解决问题．
②如图3中，过点A作AM∥直线， 直线于， 直线于，延长 交于．则四边形是矩形，由推出 欲求的最大值，只要求的最大值即可，点与点重合时的值最大.

试题解析：（1）由题意轴是抛物线的对称轴，也是矩形ABCD的对称轴，
∴关于轴对称，


由题意
解得或（舍去），

（2）如图1中，


∴直线EB的解析式为

直线DE的解析式为

设BD交OE于P，
∵PG∥AB，


四点共圆，

= ,

（3）观察图形可知当是等腰三角形时，只有

在中，

解得或（舍弃），
∴点

②如图3中，过点A作AM∥直线， 直线于， 直线于，延长 交于．则四边形是矩形，



欲求的最大值，只要求的最大值即可，
在中，
∴当点与点重合时的值最大，此时
的最大值