Question

【题目】如图，ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切

（1）求证：弧AB=弧AC
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接BE，sin∠E= ，求tan∠D

Answer 1

【答案】
（1）证明：证明：连接OA交BC于F．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAF=∠CFO，

∵AD是⊙O的切线，

∴∠OAD=90°，

∴∠OFC=90°，

∴OF⊥BC，

∴OA平分 ，

即 = ．

（2）解：如图2中，作BM⊥EC于M，AN⊥EC于N，连接AC．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D=∠ABC=∠BCE，

∴ = ，

∵ = ，

∴ = = ，

∴BE=AB=AC， = ，

∴∠E=∠ACE，

在Rt△BEM中，sin∠E= ，设BE=13m，则BM=12m，EM=5m，

在Rt△ANC中，sin∠ACN=sin∠E= ，AC=EB=13m，则CN=5m，

∵BM=CN，BM∥CN，

∴四边形BMNA是平行四边形，

∴MN=AB=EB=13m，

∴CM=18m，

∴tan∠BCE= = = ，

∴tan∠D= ．

【解析】（1.）如图1中，连接OA交BC于F．只要证明OF⊥BC即可解决问题． （2.）如图2中，作BM⊥EC于M，AN⊥EC于N，连接AC．首先证明BE=AB=AC， = ，推出∠E=∠ACE，在Rt△BEM中，sin∠E= ，设BE=13m，则BM=12m，EM=5m，在Rt△ANC中，sin∠ACN=sin∠E= ，AC=EB=13m，则CN=5m，由四边形BMNA是平行四边形，推出MN=AB=EB=13m，推出CM=18m，推出tan∠BCE= = = ，可得tan∠D= ．
【考点精析】掌握平行四边形的性质和切线的性质定理是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．