Question

【题目】如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F。

（1）求证：CE=CF。
（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示。试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论。

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∵CD⊥AB，∴∠EAD+∠AED=90°， ∴∠CFA=∠AED ，又∵∠AED=∠CEF，∴∠CFA=∠AED，∴CE=CF

（2）答： =CF． 过点E作EG⊥AC于点G，

∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，

∴ED=EG，

∵△ADE平移得到 ，

∴ =DE，

∴ =GE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠B+∠DCB=90°，

∴∠ACD=∠B，在△CEG和 中，

∵ ，∴△CEG≌ （AAS），∴CE= ，又∵CE=CF，∴ =CF

【解析】（1）求证CE=CF可由等角对等边，即若∠CFA=∠AED，则CE=CF。由AF平分∠CAB，∠CAF=∠EAD再利用互余关系易得结果。
（2）过点E作EG⊥AC于点G，由角平分线的性质可得ED=EG，再由平移可得 D ′ E ′ =GE，还有互余关系可得∠ACD=∠B，以及两个直角，最后得证△CEG≌ △ B E ′ D ′推得 B E ′ =CF。