Question

【题目】如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点C，若ACAB=12，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接CD，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠D=90°，

∵∠PAC=∠PBA，

∠D=∠PBA，

∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，

∴PA⊥AD，

∴PA是⊙O的切线

（2）解：∵CF⊥AD，

∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，

∴∠ACF=∠D，

∴∠ACF=∠B，

而∠CAG=∠BAC，

∴△ACG∽△ABC，

∴AC：AB=AG：AC，

∴AC2=AGAB=12，

∴AC=2

【解析】（1）连接CD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD+∠D=90°，再∠D=∠PBA，加上∠PAC=∠PBA，所以∠PAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明△ACG∽△ABC，再利用相似比得到AC2=AGAB=12，从而得到AC=2 ．