Question

【题目】在菱形ABCD中，∠BAD=120°，射线AP位于该菱形外侧，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，直线DE与直线AP交于F，连接BF，设∠PAB=α．
（1）依题意补全图1；
（2）如图1，如果0°＜α＜30°，判断∠ABF与∠ADF的数量关系，并证明；

（3）如图2，如果30°＜α＜60°，写出判断线段DE，BF，DF之间数量关系的思路；（可以不写出证明过程）

（4）如果60°＜α＜90°，直接写出线段DE，BF，DF之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1所示：

（2）解：∠ABF=∠ADF．

理由：如图2所示：连接AE．

∵点B与点E关于直线PA对称，

∴EA=AB，∠ABF=∠AEF．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD．

∴AE=AD．

∴∠AEF=∠ADF．

∴∠ABF=∠ADF．

（3）解：DF=ED﹣BF．

理由：如图3所示：

∵点B与点E关于PA对称，

∴EF=BF．

又∵DF=ED﹣EF，

∴DF=ED﹣BF．

（4）解：BF=DE+DF．

理由：如图4所示：

∵点B与点E关于PA对称，

∴EF=BF．

又∵EF=ED+DF，

∴BF=DE+DF

【解析】（1）根据题意画出图形；
（2）连接AE，根据对称的性质可得EA=AB、∠ABF=∠AEF，再由四边形ABCD为菱形，可得∠AEF=∠ADF，进而得出结论；
（3）根据对称的性质易得DF=ED﹣BF；
（4）画出图形，根据对称的性质易得BF=DE+DF.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的性质和轴对称的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．