Question

【题目】如图所示，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，且CD//AB，连接AC，AD，OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．
（1）求证：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求图中阴影部分图形的周长（结果精确到1，参考数据：π=3.1， =1.4， =1.7）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CD//AB，

∴∠CDA=∠DAO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠CDA=∠ADO，

∴DA平分∠CDO

（2）解：∵AC=CD，

∴∠CDA=∠CAD，

∵∠CDA=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC//OD，

又∵AC=CD，CD//AB，

∴四边形AODC是菱形，

∴OA=AC，

连接OC，∵AB=12，

∴OA=AC=OC=6，

∴∠CAO=60°，

作CF⊥AB于点F，

∴CF=ACsin60°=6× =3 ，AF=ACcos60°=3，

∵EB⊥AB，CD//AB，

则BE=CF=3 ，DE=AB﹣AF﹣CD=12﹣3﹣6=3，

∵∠CAO=60°，AC//DO，

∴∠CAO=∠DOB=60°，

∴ ，

∴图中阴影部分图形的周长是： =2π+3 +3=2×3.1+3×1.7+3≈14．

【解析】（1）要求DA平分∠CDO，只要求得∠CDA=∠ADO成立即可，根据题目中的条件，可以得到∠CDA=∠ADO，从而可以解答本题；（2）图中阴影部分图形的周长是BE+DE+ 的长，根据（1）中的结论和题目中的条件，可以求得BE+DE+ 的长，从而可以解答本题．
【考点精析】通过灵活运用切线的性质定理和弧长计算公式，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=nπr/180;注意：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的即可以解答此题．