Question

【题目】如图，己知△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，分别连接AP、BP、AQ、CQ，∠ABP=∠ACQ, BP=CQ.

(1)求证：△ABP≌△ACQ；

(2)连接PQ,求证△APQ是等边三角形；

(3)连接P设△CPQ是以PQC为顶角的等腰三角形，且∠BPC=100，求∠APB的度数.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；（2）答案见解析；（3）160°

【解析】试题分析:易证AB=AC，∠BAC=60°，即可证明△ABP≌△ACQ，可得∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，即可求得∠PAQ=60°，即可解题．

（1）证明： ∵ △ABC是等边三角形，

∴ AB=AC .

在△ABP和△ACQ中

，

∴ △ABP ≌ △ACQ ( SAS ).

（2）证明： ∵ △ABP ≌ △ACQ，

∴ , ，

∴ ，

∴ .

∵ △ABC是等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ △APQ是等边三角形.

（3）解： 如图示

∵ △CPQ是等腰三角形，∠PQC为顶角，

∴ .

设，

= .

∵ △APQ是等边三角形，

∴ ，

∴ .

∵ △ABP ≌ △ACQ，

∴ ，

∴ .

∵ ，

又∵

∴ ，

解得 ，

∴ .

点睛: 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证△ABP≌△ACQ是解题的关键．