Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，D在AB边上，以BD为直径的半圆与AC相切于点E，连接BE．

（1）试说明：BE平分∠ABC；

（2）若∠A=30°，⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）18﹣6π．

【解析】

试题分析：（1）连接OE，根据切线的性质得出OE⊥AC，即可证得OE∥BC，得出∠EBC=∠OEB，因为∠OEB=∠OBE，证得∠OBE=∠EBC，得出结论；

（2）分别求得三角形AOE和扇形的面积，根据S阴影=S△AOE﹣S扇形ODE即可求得．

（1）证明：连接OE，

∵半圆与AC相切于点E，

∴OE⊥AC，

∵∠C=90°，

∴OE∥BC，

∴∠EBC=∠OEB，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠OBE=∠EBC，

∴BE平分∠ABC；

（2）∵OE⊥AC，∠A=30°，⊙O的半径为6，

∴OE=6，∠AOE=60°，

∴OA=2OE=12，

∴AE==6，

∴S阴影=S△AOE﹣S扇形ODE=×6×6﹣=18﹣6π．