Question

【题目】（本题满分10分）

如图，抛物线经过点，，直线交轴于点，且与抛物线交于，两点．为抛物线上一动点（不与，重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线下方时，过点作轴交于点，轴交于点．求的最大值；

（3）设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2-x-2；（2）；（3）能，（1，0）

【解析】

试题分析：（1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c解方程组即可得到结论；

（2）设P（m，m2-m-2），得到N（m，-m-），M（-m2+2m+2，m2-m-2），根据二次函数的性质即可得到结论；

（3）求得E（0，-），得到CE=，设P（m，m2-m-2），①以CE为边，根据CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，-），设P（m，m2-m-2），则F（-m，m-），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．

试题解析：（1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c得，

∴

∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2；

（2）设P（m，m2-m-2），

∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，

∴N（m，-m-），M（-m2+2m+2，m2-m-2），

∴PM+PN=-m2+2m+2-m-m--m2+m+2=-m2+m+=-（m- ）2+，

∴当m=时，PM+PN的最大值是；

（3）能，

理由：∵y=-x-交y轴于点E，

∴E（0，-），

∴CE=，

设P（m，m2-m-2），

∵以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，

①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，

∴F（m，-m-），

∴-m--m2+m+2=，

∴m=1，m=0（舍去），

②以CE为对角线，连接PF交CE于G，

∴CG=GE，PG=FG，

∴G（0，-），

设P（m，m2-m-2），则F（-m，m-），

∴×（m2-m-2+m-）=-，

∵△＜0，

∴此方程无实数根，

综上所述，当m=1时，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形．