Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（1，0）和B（4，0）代入y=ax2+bx+2得，

，

解得 ，

所以，抛物线的解析式为y= x2﹣ x+2

（2）

解：方法一：

抛物线的对称轴为直线x= ，

∵四边形OECF是平行四边形，

∴点C的横坐标是 ×2=5，

∵点C在抛物线上，

∴y= ×52﹣ ×5+2=2，

∴点C的坐标为（5，2）

方法二：

∵FC∥x轴，∴当FC=OE时，四边形OECF是平行四边形．

设C（t， ），

∴F（ ， +2），

∴t﹣ = ，

∴t=5，C（5，2）

（3）

解：方法一：

设OC与EF的交点为D，

∵点C的坐标为（5，2），

∴点D的坐标为（ ，1），

①点O是直角顶点时，易得△OED∽△PEO，

∴ ，

即 = ，

解得PE= ，

所以，点P的坐标为（ ，﹣ ）；

②点C是直角顶点时，同理求出PF= ，

所以，PE= +2= ，

所以，点P的坐标为（ ， ）；

③点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC= = ，

∵PD是OC边上的中线，

∴PD= OC= ，

若点P在OC上方，则PE=PD+DE= +1，

此时，点P的坐标为（ ， ），

若点P在OC的下方，则PE=PD﹣DE= ﹣1，

此时，点P的坐标为（ ， ），

综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（ ，﹣ ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ， ），使△OCP是直角三角形

方法二：

∵点P在抛物线的对称轴上，设P（ ，t），O（0，0），C（5，2），

∵△OCP是直角三角形，∴OC⊥OP，OC⊥PC，OP⊥PC，

①OC⊥OP，∴KOC×KOP=﹣1，∴ ，

∴t=﹣ ，∴P（ ，﹣ ），

②OC⊥PC，∴KOC×KPC=﹣1，∴ =﹣1，

∴t= ，P（ ， ），

③OP⊥PC，∴KOP×KPC=﹣1，∴ ，

∴4t2﹣8t﹣25=0，∴t= 或 ，

点P的坐标为（ ， ）或（ ， ），

综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（ ，﹣ ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ， ），使△OCP是直角三角形．

【解析】方法一：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b的值，即可得解；（2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；（3）设AC、EF的交点为D，根据点C的坐标写出点D的坐标，然后分①点O是直角顶点时，求出△OED和△PEO相似，根据相似三角形对应边成比例求出PE，然后写出点P的坐标即可；②点C是直角顶点时，同理求出PF，再求出PE，然后写出点P的坐标即可；③点P是直角顶点时，利用勾股定理列式求出OC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD= OC，再分点P在OC的上方与下方两种情况写出点P的坐标即可．
方法二：（1）略．（2）因为四边形OECF是平行四边形，且FC∥x轴，列出F，C的参数坐标，利用FC=OE，可求出C点坐标．（3）列出点P的参数坐标，分别列出O，C两点坐标，由于△OCP是直角三角形，所以分别讨论三种垂直的位置关系，利用斜率垂直公式，可求出三种情况下点P的坐标．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．