Question

【题目】如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交与点D． ①若∠BAO=60°，则∠D=°．
②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由 ．
（2）若∠ABC= ∠ABN，∠BAD= ∠BAO，则∠D=°．
（3）若将“∠MON=90°”改为“∠MON=α（0°＜α＜180°）”，∠ABC= ∠ABN，∠BAD= ∠BAO，其余条件不变，则∠D=°（用含α、n的代数式表示）

Answer 1

【答案】
（1）45；∠D的度数不变
（2）30
（3）
【解析】解：（1）①∵∠BAO=60°、∠MON=90°， ∴∠ABN=150°，
∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，
∴∠CBA= ∠ABN=75°，∠BAD= ∠BAO=30°，
∴∠D=∠CBA﹣∠BAD=45°，
所以答案是：45；
②∠D的度数不变．理由是：
设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∴∠D=∠ABC﹣∠BAD=45°+α﹣α=45°；（2）设∠BAD=α，
∵∠BAD= ∠BAO，
∴∠BAO=3α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，
∵∠ABC= ∠ABN，
∴∠ABC=30°+α，
∴∠D=∠ABC﹣∠BAD=30°+α﹣α=30°，
所以答案是：30；（3）设∠BAD=β，
∵∠BAD= ∠BAO，
∴∠BAO=nβ，
∵∠AOB=α°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，
∵∠ABC= ∠ABN，
∴∠ABC= +β，
∴∠D=∠ABC﹣∠BAD= +β﹣β= ，
所以答案是： ．
【考点精析】利用三角形的内角和外角和三角形的外角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．