Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？

Answer 1

【答案】
（1）证明：过点O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O与AC相切于点D．

∴OD⊥AC，

∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠DAO=∠MAO，

∴OM=OD．

∴AB与⊙O相切

（2）解：过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．

∵AB=AC，AO⊥BC，

∴O是BC的中点，

∴OB=2．

在直角△OBM中，∠MBO=60°，

∴OM=OBsin60°= ，BM=OBcos60°=1．

∵BE⊥AB，

∴四边形OMBN是矩形．

∴ON=BM=1，BN=OM= ．

∵OF=OM= ，

由勾股定理得NF= ．

∴BF=BN+NF= + ．

【解析】（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可；（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，则四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和解直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．