Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=15，BE=10，tanA= ，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB，

∵OB=OA，DE=DB，

∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，

∴∠OBA+∠ABD=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线

（2）解：如图，

过点D作DG⊥BE于G，

∵DE=DB，

∴EG= BE=5，

∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，

∴∠GDE=∠A，

∴△ACE∽△DGE，

∴sin∠EDG=sinA= = ，即CE=13，

在Rt△ECG中，

∵DG= =12，

∵CD=15，DE=13，

∴DE=2，

∵△ACE∽△DGE，

∴ ，

∴AC= DG= ，

∴⊙O的直径2OA=4AD= ．

【解析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°，即可证明BD是⊙O的切线；（2）过点D作DG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG= BE=5，由两角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA= ，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果． 此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．