Question

【题目】已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线

y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；

(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0).

【解析】

试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，从而求出△DMC、梯形MDBO和△BOC的面积，然后得出面积；(3)、设P点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标.

试题解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,

所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）．将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c,

得解这个方程组得

所以，抛物线的解析式为y=－x2－4x+5.

(2)、由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0，解这个方程得x1=－5,x2=1,

所以C点的坐标为（－5，0）．由顶点坐标公式计算得点D（－2，9）．

过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×(5－2)=，

S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，S△BOC=×5×5=，

所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC=14+－=15．

(3)、设P点的坐标为（a,0），

因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．

那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，

PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)．

由题意，得①EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5).

解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）.

②EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5)，

解这个方程,得a=－或a=－5（舍去），

∴P点的坐标为(－,0)或(－,0)．