Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，

∴AC⊥BD，

∴∠ACD+∠BDC=90°，

∵AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∴∠ADC+∠BDC=90°，

∴∠BDC=∠PDC；

（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，

∵∠BDC=∠PDC，

∴CE=CM，

∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，

∴△CPM∽△APD，

∴ = ，

设CM=CE=x，

∵CE：CP=2：3，

∴PC= x，

∵AB=AD=AC=1，

∴ = ，

解得：x= ，

故AE=1﹣ = ．

【解析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．