Question

【题目】探究:如图①,在ABCD中,AC,BD交于点O,过点O的直线交AD于E,交BC于F.

（1）求证:OE=OF.
（2）求证:四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等;
（3）直线EF是否将ABCD的面积二等分?
应用:张大爷家有一块平行四边形的菜园,园中有一口水井P,如图②所示,张大爷计划把菜园平均分成两块,分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,请你帮助张大爷把地分开.

Answer 1

【答案】
（1）证明:∵在ABCD中,AD∥BC,OB=OD,
∴∠OBF=∠ODE.
又∵∠BOF=∠DOE,
∴△BOF≌△DOE.
∴OE=OF
（2）证明:由(1)知△BOF≌△DOE,
∴BF=DE.
∵在ABCD中,AD∥BC,OA=OC,
∴∠OAE=∠OCF.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
∴AE=CF.
又∵在ABCD中,AB=CD,
四边形AEFB的周长=AE+EF+BF+AB,
四边形DEFC的周长=CF+EF+DE+CD,
∴四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等
（3）解:由(1)(2)可知△BOF≌△DOE,△COF≌△AOE.
又易证△AOB≌△COD,
∴S四边形AEFB=S四边形DEFC.
即直线EF将ABCD的面积二等分.
应用:连接AC,BD交于点O,作直线OP,则直线OP两旁的四边形面积相等(图略).
【解析】（1）要证OE=OF，可通过证明OE、OF所在的△AOE与△COF全等，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，OA=OC，从而得到∠EAO=∠FCO，再由对顶角∠EOA=∠FOC，即可得到△BOF≌△DOE，从而证得结论。
（2）要证四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等，根据图形可以看到两四边形由公共边EF，只要证明AE+BF+AB=ED+FC+DC即可，而由平行四边形的性质可得AB=CD，从而只要证明AE+BF=ED+CF即可，而由（1）中△AOE≌△COF可得AE=CF，从而AE+BF=CF+BF=CB，ED+CF=ED+AE=AD，由平行四边形的性质可得AD=BC，从而问题得到解决。
（3）由平行四边形的性质很容易得到△BOF≌△DOE,△COF≌△AOE，△AOB≌△COD,全等三角形的面积相等，所以△ABC与△CDA的面积也相等且都为平行四边形面积的一半，然后等量代换即可解决此问题。