Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm，点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上．设运动时间为x（s），半圆O在△ABC的重叠部分的面积为S（cm2）．
（1）当x=（s）时，点O与线段BC的中点重合；
（2）在（1）的条件下，求半圆O与△ABC的重叠部分的面积S；
（3）当x为何值时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切？

Answer 1

【答案】
（1）6
（2）解：如图1中，设⊙O与AB交于点H，连接OH，CH．

∵BC是直径，

∴∠CHB=90°，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠HBC=∠HCB=45°，

∴HC=HB，

∴OH⊥BC，OH=OB=OC=6，

∴S=S扇形OHC+S△OHB= π62+ 66=18+9π

（3）解：如图2中，当⊙O与AB相切时（点O在点B左侧），易知OH=BH=6，OB=6 ，OC=12﹣6 ，

∴x= =9﹣3 ．

如图3中，当⊙O与AB相切时（点O在点B右侧），易知OH=BH=6，OB=6 ，OC=12+6 ，

∴x= =9+3 ．

如图1中，x=6时，⊙O与AC相切．

综上所述，当x=0或（9﹣3 ）或6或（9+3 ）s时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切

【解析】解：（1）如图1中，当点O在AB的中点时，x= =6s．
所以答案是6s．